Question

【题目】四边形ABCD的对角线交于点E，且AE=EC，BE=ED，以AB为直径的半圆过点E，圆心为O．
（1）利用图1，求证：四边形ABCD是菱形．

（2）如图2，若CD的延长线与半圆相切于点F，且直径AB=8．
①△ABD的面积为 ．
② 的长 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AE=EC，BE=ED，

∴四边形ABCD是平行四边形．

∵AB为直径，且过点E，

∴∠AEB=90°，即AC⊥BD．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD是菱形．

（2）16, π
【解析】（2）①连结OF．

∵CD的延长线与半圆相切于点F，

∴OF⊥CF．

∵FC∥AB，

∴OF即为△ABD中AB边上的高．

∴S△ABD= AB×OF= ×8×4=16，

∵点O是AB中点，点E是BD的中点，

∴S△OBE= S△ABD=4．②过点D作DH⊥AB于点H．

∵AB∥CD，OF⊥CF，

∴FO⊥AB，

∴∠F=∠FOB=∠DHO=90°．

∴四边形OHDF为矩形，即DH=OF=4．

∵在Rt△DAH中，sin∠DAB= = ，

∴∠DAH=30°．

∵点O，E分别为AB，BD中点，

∴OE∥AD，

∴∠EOB=∠DAH=30°，

∴ 的长度= = π．

所以答案是：16， π．

【考点精析】通过灵活运用圆周角定理和切线的性质定理，掌握顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径即可以解答此题．