Question

【题目】如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，AB=BC+AD，∠DAC=45°，E为CD上一点，且∠BAE=45°．若CD=4，则△ABE的面积为（ ）

A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】如图取CD的中点F，连接BF延长BF交AD的延长线于G，作FH⊥AB于H，EK⊥AB于K．作BT⊥AD于T．

∵BC∥AG，

∴∠BCF=∠FDG，

∵∠BFC=∠DFG，FC=DF，

∴△BCF≌△GDF，

∴BC=DG，BF=FG，

∵AB=BC+AD，AG=AD+DG=AD+BC，

∴AB=AG，∵BF=FG，

∴BF⊥AF，∠ABF=∠G=∠CBF，

∵FH⊥BA，FC⊥BC，

∴FH=FC，易证△FBC≌△FBH，△FAH≌△FAD，

∴BC=BH，AD=AH，

由题意AD=DC=4，设BC=TD=BH=x，

在Rt△ABT中，∵AB2=BT2+AT2，

∴（x+4）2=42+（4﹣x）2，

∴x=1，

∴BC=BH=TD=1，AB=5，

设AK=EK=y，DE=z，

∵AE2=AK2+EK2=AD2+DE2，BE2=BK2+KE2=BC2+EC2，

∴42+z2=2y2①，

（5﹣y）2+y2=12+（4﹣z）2②

由②得到25﹣10y+2y2=5﹣8z+z2③，

①代入③可得z= ④

④代入①可得y= （负根已经舍弃），

∴S△ABE= ×5× = ，

所以答案是：D．

【考点精析】解答此题的关键在于理解三角形的面积的相关知识，掌握三角形的面积=1/2×底×高．