Question

【题目】（1）发现

如图，点为线段外一动点，且，.

填空：当点位于____________时，线段的长取得最大值，且最大值为_________.（用含，的式子表示）

（2）应用

点为线段外一动点，且，.如图所示，分别以，为边，作等边三角形和等边三角形，连接，.

①找出图中与相等的线段，并说明理由；

②直接写出线段长的最大值.

（3）拓展

如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为线段外一动点，且，，，求线段长的最大值及此时点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）CB的延长线上，a+b；

（2）①DC=BE,理由见解析；②BE的最大值是4.

（3）AM的最大值是3+2，点P的坐标为（2-，）.

【解析】试题分析：（1）当点A在线段CB的延长线上时，可得线段AC的长取得最大值为a+b；（2）①DC=BE，根据等边三角形的性质可得AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°，再证得∠CAD=∠EAB,即可判定△CAD≌△EAB，所以DC=BE；②当点A在线段CB的延长线上时，可得线段CD的长取得最大值为3+1=4，即可得BE的最大值是4;（3）如图3，构造△BNP≌△MAP,则NB=AM,由（1）知，当点N在BA的延长线上时，NB有最大值（如备用图）。易得△APN是等腰直角三角形，AP=2，∴AN=，∴AM=NB=AB+AN=3+;过点P作PE⊥x轴于点E，PE=AE=,又A（2，0）∴P（2-，）

试题解析：（1）CB的延长线上，a+b；

（2）①DC=BE,理由如下：

∵△ABD和△ACE为等边三角形，

∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°，

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB,

∴△CAD≌△EAB.

∴DC=BE.

②BE的最大值是4.

（3）AM的最大值是3+2，点P的坐标为（2-，）.