Question

【题目】如图1，△ABC是等边三角形，D是边BC上的任意一点，∠ADF=60°，且DF交∠ACE的角平分线于点F.

（1）求证：AC=CD＋CF；

（2）如图2，当点D在BC的延长上时，猜想AC、CD、CF的数量关系，并证明你的猜想.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）AC=CF-CD，证明详见解析.

【解析】

（1）过点D作DM∥AC，且交AB于点M，证明△BDM是等边三角形，得到BD=BM=DM；再证明△AMD≌△DCF，根据全等三角形的性质得到DM=CF即可得到结论；

（2）作DG∥AC交DF于G，证明△ACD≌△FGD，根据全等三角形的性质得到AC=FG=BC，从而可证得AC=CF-CD．

（1）证明：过点D作DM∥AC，且交AB于点M，

∴∠BDM=∠BCA=60°，∠BED=∠BAC=60°，

∴∠BDE=∠BMD=60°，

∴△BDM是等边三角形，

∴BD=BM=DM；

∵BA=BC，BD=BM，

∴MA=DC，

∵∠BMD=60°，

∴∠AMD=120°，

∵CF是∠ACE的平分线，

∴∠ACF=60°，

∴∠DCF=120°，

∴∠AMD=∠DCF，

∵∠ADF=60°，∠BDM=60°，

∴∠ADM+∠FDC=60°，

∵∠ADM+∠DAM=∠BMD=60°，

∴∠DAM=∠FDC，

在△AMD和△DCF中，

，

∴△AMD≌△DCF，

∴DM=CF，

∴BC=CD+BD=CD+DM=CD+CF,

∴AC=CD＋CF；

（2）AC=CF-CD

作DG∥AC交DF于G，

则∠CGD=∠ACF=60°，∠CDG=∠ACB=60°，

∴△CDG为等边三角形，∠ACD=∠FGD=120°，

∴CG=CD=DG，

∵∠BDA+∠ADG=60°，∠FDG+∠ADG=60°，

∴∠BDA=∠FDG，

在△ACD和△FGD中，

，

∴△ACD≌△FGD，

∴AC=FG，

∴AC=CF-CG=CF-CD．