Question

【题目】如图，一次函数的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC＝30°．

（1）求△ABC的面积；

（2）如果在第二象限内有一点P（m，），试用含m的代数式表示△APB的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时m的值；

（3）是否存在使△QAB是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q？若存在，请写出点Q所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）先求出A、B两点的坐标，再由∠ABC＝30°，求出AC的长，从而计算出面积；
（2）过P作PD⊥x轴，垂足为D，先求出梯形ODPB的面积和△AOB的面积之和，再减去△APD的面积，即是△APB的面积；根据△APB与△ABC面积相等，求得m的值；
（3）假设存在点Q，使△QAB是等腰三角形，求出Q点的坐标即可．

解：（1）∵一次函数的解析式为y=-x+函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，

∴A（1，0），B（0，），根据勾股定理可得：AB＝2，

在Rt△ABC， ∠ABC＝30°，设AC＝x，则BC＝2x，由勾股定理得，4x2﹣x2＝4，

解得x＝，S△ABC＝＝；

（2）过P作PD⊥x轴，垂足为D，

S△APB＝S梯形ODPB+S△AOB﹣S△APD＝＝，

＝，解得m＝；

（3）∵AB＝＝2，

∴当AQ＝AB时，点Q1（3，0），Q2（﹣1，0），Q3（0，﹣）；

当AB＝BQ时，点Q4（0，+2），Q5（0，﹣2），Q2（﹣1，0）；

当AQ＝BQ时，点Q6（0，），Q2（﹣1，0），

综上可得：（0，），（0，），（﹣1，0）（3，0），（0，），（0，）