Question

【题目】已知二次函数y=﹣ x2+bx+c的图象与x轴的正半轴相交于点A（2，0）和点B、与y轴相交于点C，它的顶点为M、对称轴与x轴相交于点N．
（1）用b的代数式表示顶点M的坐标；
（2）当tan∠MAN=2时，求此二次函数的解析式及∠ACB的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵二次函数y=﹣ x2+bx+c的图象经过点A（2，0），

∴0=﹣ ×4+2b+c

∴c=2﹣2b

∴y=﹣ x2+bx+c=﹣ x2+bx+2﹣2b

=﹣ （x﹣b）2+

∴顶点M的坐标为（b， ）

（2）解：∵tan∠MAN= =2

∴MN=2AN．

∵M（b， ）

∴N（b，0），

∴MN= （b﹣2）2

①当点B在点N左侧时，AN=2﹣b，

∴ （b﹣2）2=2（2﹣b）

∴b=﹣2．不符合题意．

②当点B在点N右侧时，AN=b﹣2，

∴ （b﹣2）2=2（b﹣2）

∴b=6

∴二次函数的解析式为y=﹣ x2+6x﹣10

∴点C（0，﹣10），

∵点A、B关于直线MN对称，

∴点B（10，0）．

∵OB=OC=10，

∴BC=10，∠OBC=45°，

过点A作AH⊥BC，垂足为H，

∵AB=8，∴AH=BH=4 ，∴CH=6

∴tan∠ACB= = =

【解析】（1）由于二次函数过点A，从而可知c=2﹣2b，然后将c代入抛物线的解析式中即可求出抛物线的顶点坐标．（2）根据解析式可求出MN= （b﹣2）2，由于点B的位置不确定，需要分情况讨论，求出b的值，从而求出二次函数的解析式，然后求出B、C的坐标后即可求出tan∠ACB．
【考点精析】解答此题的关键在于理解抛物线与坐标轴的交点的相关知识，掌握一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．，以及对解直角三角形的理解，了解解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)．