Question

【题目】已知：如图，在菱形ABCD中，点E在边BC上，点F在BA的延长线上，BE=AF，CF∥AE，CF与边AD相交于点G．
求证：
（1）FD=CG；
（2）CG2=FGFC．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵在菱形ABCD中，AD∥BC，

∴∠FAD=∠B，

在△ADF与△BAE中， ，

∴△ADF≌△BAE，

∴FD=EA，

∵CF∥AE，AG∥CE，

∴EA=CG，

∴FD=CG

（2）解：∵在菱形ABCD中，CD∥AB，

∴∠DCF=∠BFC，

∵CF∥AE，

∴∠BAE=∠BFC，

∴∠DCF=∠BAE，

∵△ADF≌△BAE，

∴∠BAE=∠FDA，

∴∠DCF=∠FDA，

又∵∠DFG=∠CFD，

∴△FDG∽△FCD，

∴ ，FD2=FGFC，

∵FD=CG，

∴CG2=FGFC

【解析】（1）根据菱形的性质得到∠FAD=∠B，根据全等三角形的性质得到FD=EA，于是得到结论；（2）根据菱形的性质得到∠DCF=∠BFC，根据平行线的性质得到∠BAE=∠BFC，根据全等三角形的性质得到∠BAE=∠FDA，等量代换得到∠DCF=∠FDA，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【考点精析】通过灵活运用菱形的性质和相似三角形的判定与性质，掌握菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方即可以解答此题．