Question

【题目】如图甲，点C将线段AB分成两部分（AC＞BC），如果 = ，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积分别为S1 ， S2（S1＞S2）的两部分，如果 = ，那么称直线l为该图形的黄金分割线．

（1）如图乙，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ACB的平分线交AB于点D，请问点D是否是AB边上的黄金分割点，并证明你的结论；
（2）若△ABC在（1）的条件下，如图丙，请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线，并证明你的结论；
（3）如图丁，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB上的一点，（不与A，B重合）过D作DE⊥BC于点E，连接AE，CD相交于点F，连接BF并延长，与DE，AC分别交于点G，H．请问直线BH是直角三角形ABC的黄金分割线吗？并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：点D是AB边上的黄金分割点．理由如下：

∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠B=∠ACB=72°，

∵CD是角平分线，

∴∠ACD=∠BCD=36°，

∴∠A=∠ACD，

∴AD=CD，

∵∠CDB=180°﹣∠B﹣∠BCD=72°，

∴∠CDB=∠B，

∴BC=CD，

∴BC=AD．

在△BCD与△BCA中，∠B=∠B，∠BCD=∠A=36°，

∴△BCD∽△BAC，

∴ ，

∴ ，

∴点D是AB边上的黄金分割点．

（2）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：

证明：设△ABC中，AB边上的高为h，则S△ABC= ABh，S△ACD= ADh，S△BCD= BDh，

∴S△ACD：S△ABC=AD：AB，S△BCD：S△ACD=BD：AD，

由（1）知，点D是AB边上的黄金分割点，

∴ ，

∴S△ACD：S△ABC=S△BCD：S△ACD，

∴CD是△ABC的黄金分割线．

（3）解：直线BH不是△ABC的黄金分割线．理由如下：

∵DE∥AC，

∴ ， ，

∴ ， ，

∴ ，

∴AH2=HC2，

∴AH=HC，

∴S△BHA=S△BHC= S△ABC，

∴BH不是△ABC的黄金分割线．

【解析】（1）根据等边对等角得出∠B=∠ACB=72°，根据角平分线的定义及等量代换得出∠A=∠ACD，进而根据等角对等边得出AD=CD，BC=CD，从而得出BC=AD．然后判断出△BCD∽△BAC，根据相似三角形对应边成比例得出=,从而得出=，从而得出结论点D是AB边上的黄金分割点；
（2）设△ABC中，AB边上的高为h，根据三角形的面积公式，则S△ABC= ABh，S△ACD= ADh，S△BCD= BDh，故S△ACD：S△ABC=AD：AB，S△BCD：S△ACD=BD：AD，由（1）知，点D是AB边上的黄金分割点，故=，根据等量代换得S△ACD：S△ABC=S△BCD：S△ACD，从而得出结论；
（3）直线BH不是△ABC的黄金分割线．理由如下：根据平行线分线段成比例定理得出AH2=HC2，故AH=HC，从而S△BHA=S△BHC= S△ABC，得出结论BH不是△ABC的黄金分割线．
【考点精析】通过灵活运用三角形的面积和平行线分线段成比例，掌握三角形的面积=1/2×底×高；三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例即可以解答此题．