Question

【题目】如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，直径AB左侧的半圆上有一点动点E（不与点A、B重合），连结EB、ED．

（1）如果∠CBD=∠E，求证：BC是⊙O的切线；
（2）当点E运动到什么位置时，△EDB≌△ABD，并给予证明；
（3）在（1）的条件下，若tanE= ，BC= ，求阴影部分的面积．（计算结果精确到0.1）
（参考数值：π≈3.14， ≈1.41， ≈1.73）

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

即∠ABD+∠BAD=90°．

又∵∠CBD=∠E，∠BAD=∠E，

∴∠ABD+∠CBD=90°，即∠ABC=90°．

∴BC⊥AB．

∴BC是⊙O的切线．

（2）

证明：当点E运动到DE经过点O位置时，△EDB≌△ABD．证明如下：

当点E运动到DE经过点O位置时，∠EBD=∠ADB=90°，

在△EDB与△ABD中，

，

∴△EDB≌△ABD（AAS）．

（3）

解：如图，连接OD，过点O作OF⊥AD于点F，

∵∠BAD=∠E，tanE= ，

∴tan∠BAD= ．

又∵∠ADB=90°，

∴∠BAD=30°．

∵∠ABC=90°，BC= ，

∴AB= =4．

∴AO=2，OF=1，AF=AOcos∠BAD= ．

∴AD=2 ．

∵AO=DO，

∴∠AOD=120°．

∴S阴影=S扇形OAD﹣S△AOD= ﹣ ×3=2 ×1= π﹣ ≈2.5．

【解析】（1）欲证明BC是⊙O的切线，只需证得BC⊥AB；（2）利用圆周角定理，全等三角形的判定定理AAS证得当点E运动到DE经过点O位置时，△EDB≌△ABD；（3）如图，连接OD，过点O作OF⊥AD于点F．S阴影=S扇形OAD﹣S△AOD ． 由圆周角定理和正切三角函数定义易求AB的长度、圆心角∠AOD=120°．所以根据扇形面积公式和三角形的面积公式进行计算即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解切线的判定定理的相关知识，掌握切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，以及对扇形面积计算公式的理解，了解在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形；扇形面积S=π（R2-r2）．