Question

【题目】根据要求回答问题：
（1）发现
如图1，直线l1∥l2 ， l1和l2的距离为d，点P在l1上，点Q在l2上，连接PQ，填空：PQ长度的最小值为.

（2）应用
如图2，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD⊥AB，DC=2，AD=4，AB=6，点M在线段AD上，AM=3MD，点N在直线BC上，连接MN，求MN长度的最小值

（3）拓展
如图3，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD⊥AB，DC=2，AD=4，AB=6，点M在线段AD上任意一点，连接MC并延长到点E，使MC=CE，以MB和ME为边作平行四边形MBNE，请直接写出线段MN长度的最小值

Answer 1

【答案】
（1）d
（2）解：如图2，

∵AD=4，AM=3DM，

∴AM=3，DM=1，

延长AD、BC交于E，

当MN⊥BC时，MN的值最小，

∵DC∥AB，

∴△EDC∽△EAB，

∴ ，

∴ ，

∴ED=2，

∴ED=DC=2，

∴△EDC是等腰直角三角形，

∴∠E=45°，

∴△EMN是等腰直角三角形，

∵EM=3，

∴MN= =

（3）解：当MN⊥AD时，MN的长最小，

∴MN∥DC∥AB，

∴∠DCM=∠CMN=∠MNB=∠NBH，

设MN与BC相交于点G，

∵ME∥BN，MC=CE，

∴ ，

∴G是BC上一定点，

作NH⊥AB，交AB的延长线于H，

∵∠D=∠H=90°，

∴Rt△MDC∽Rt△NHB，

即 = ，

∴BH=2DC=4，

∴AH=AB+BH=6+4=10，

∴当MN⊥AD时，MN的长最小，即为10；

则线段MN长度的最小值为10

【解析】解：（1）∵直线l1∥l2，l1和l2的距离为d，

∴PQ长度的最小值为d；

所以答案是：d；

【考点精析】本题主要考查了相似三角形的应用的相关知识点，需要掌握测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解才能正确解答此题．