Question

【题目】已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，

∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA。

∵∠OAD=∠DAE，∴∠ODA=∠DAE。∴DO∥MN，

∵DE⊥MN，∴∠ODE=∠DEM =90°，即OD⊥DE。

∵D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线

（2）解：连接CD，

，

∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，∴AD= ，

∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=∠AED =90°。

∵∠CAD=∠DAE，∴△ACD∽△ADE。 ∴ ，即 。

解得：AC=15，

∴⊙O的半径是7.5cm。

【解析】 （1）要证DE是⊙O的切线，因此连接OD，先根据OA=OD得出∠OAD=∠ODA，由AD平分∠CAM得出∠OAD=∠DAE，再证出∠ODA=∠DAE得到DO∥MN，由DE⊥MN，证得OD⊥DE。即可得出结论。
（2）根据已知易证△ACD∽△ADE，根据相似三角形的对应边成比例，建立方程求解即可。
【考点精析】掌握平行线的性质和等腰三角形的性质是解答本题的根本，需要知道两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．