Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，

（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，

∴∠BAD=∠DAC，

∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，

∴∠MAE=∠CAE，

∴∠DAE=∠DAC+∠CAE= 180°=90°，

又∵AD⊥BC，CE⊥AN，

∴∠ADC=∠CEA=90°，

∴四边形ADCE为矩形

（2）证明：当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．

理由：∵AB=AC，

∴∠ACB=∠B=45°，

∵AD⊥BC，

∴∠CAD=∠ACD=45°，

∴DC=AD，

∵四边形ADCE为矩形，

∴矩形ADCE是正方形．

∴当∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形

【解析】（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求证∠DAE=90°，可以证明四边形ADCE为矩形．（2）根据正方形的判定，我们可以假设当AD= BC，由已知可得，DC= BC，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得，四边形ADCE为正方形．
【考点精析】利用角平分线的性质定理和等腰三角形的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上；等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．