Question

【题目】观察探究，解决问题．在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H得到的四边形EFGH叫做中点四边形．
（1）如图1，求证：中点四边形EFGH是平行四边形；

（2）请你探究并填空：
①当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是；
②当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是；
③当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是；
（3）如图2，当中点四边形EFGH为矩形时，对角线EG与FH相交于点O，P为EH上的动点，过点P作PM⊥EG，PN⊥FH，垂足分别为M、N，若EF=a，FG=b，请判断PM+PN的长是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：连接AC，如图1，

在△DAC中，HG∥AC，且HG= AC，

在△BAC中，EF∥AC，且EF= AC，

∴HG∥EF，且HG=EF，

∴四边形EFGH是平行四边形

（2）平行四边形；菱形；正方形
（3）

解：如图，

连接PO，

在矩形EFGH中：EO=HO= EG= ，

∵S△EOH= S四边形EFGH= ab=S△POE+S△POH，

∴ PM×EO+ PN×HO= ab，

∴ （PM+PN）= ab，

∴PM+PN= ．

故PM+PN是定值

【解析】解： （2）①在△DAC中，HG∥AC，且HG= AC，
在△BAC中，EF∥AC，且EF= AC，
∴HG∥EF，且HG=EF，
∴四边形EFGH是平行四边形．
所以答案是平行四边形，
②由（1）有，四边形EFGH是平行四边形．
同（1）的方法得，EH= BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD
∴EH=EF，
∴平行四边形ABCD是菱形；
所以答案是菱形，
③由（2）②有，四边形EFGH是菱形．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∴∠EFG=90°，
∴菱形ABCD是正方形；
所以答案是正方形，