Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于点A（﹣2，0）和B（B在A右侧），交y轴于点C，直线y=经过点B，交y轴于点D，且D为OC中点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若P是第一象限抛物线上的一点，过P点作PH⊥BD于H，设P点的横坐标是t，线段PH的长度是d，求d与t的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，当d=时，将射线PH绕着点P顺时针方向旋转45°交抛物线于点Q，求点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+4；（2）P（，）；（3）Q（0，4）．

【解析】试题分析：(1)首先求出点B坐标,利用待定系数法即可解决问题.

(2)设P（t，﹣t2+t+4），,由cos∠HPM=cos∠DBO，可得,由此构建二次函数,利用二次函数的性质解决问题.

(3) 过点P作PF⊥x轴于点F，过点H作HG⊥PF于点G，BD与PQ交于点N,过N作NE⊥HG于E.由全等三角形△PHG≌△HNE，的性质,(2)中函数解析式求得点P、N的坐标,然后由直线与抛物线的解析式求得交点Q的坐标.

解：（1）∵y=2kx﹣12k 经过B点，

∴当y=0，x=6，

∴B（6，0），又∵A（﹣2，0），

∴，

解得，

∴y=﹣x2+x+4．

（2）如图，过点P作PM∥y轴交BD于点M，设P（t，﹣t2+t+4），

∵CD=OD，

当x=0时y=4，

∴C（0，4）

∴OD=2，

∴D（0，2），

∴BD=2，

设直线BD解析式为y=mx+n，

∴6m+n=0，n=2，

∴yBD=﹣x+2，

∴M（t，﹣t+2），

∴PM=﹣t2+t+2，

∵∠HPM=∠DBO，

∴cos∠HPM=cos∠DBO，

∴=，

∴=，

∴d=﹣t2+t+，

∴d=﹣（t﹣）2+，

∴当t=时，PH值最大，

∴P（，）．

（3）过点P作PF⊥x轴于点F，过点H作HG⊥PF于点G，BD与PQ交于点N，过N作NE⊥HG于E．

∵∠HPN=45°，PH⊥BD，

∴PH=HN，

∴△PHG≌△HNE，

∴HG=NE，PG=EH，

∵由（2）知，d=﹣t2+t+，即：d=﹣（t﹣）2+，

∴当t=时，PH=，

∴P（，）．

当PH=时，HG=PG=，

∴EH=，EN=，

∴N（﹣，），P（，），

∴yPN=x+4，

由，

解得或，

∴Q（0，4）．