【题目】综合题
（1）【结论再现】如图①，在 中， ， ，则 ， ．

（2）【问题解决】
如图②，四边形 是一张边长为 的正方形纸片， 、 分别为 、 的中点，沿过点 的折痕将纸片翻折，使点 落在 上的点 处，折痕交 于点 ，求 的度数和 的长．

（3）【问题探究】
如图③，点 是等腰 斜边 所在直线上一点，且满足 ，求 的大小和此时 的值．

【答案】
（1）解： ,
（2）解：∵ 折叠后得到 ，

∴ ，且 ，

∴在 中， ，sin∠FA′D= = ，

∴ ，

∴ ，

在 中， ，

∴ ，

又∵在 中， ，那么 ，

∴ ，

∴ ，

则 ，

那么


（3）解：如图，

①当 在 边上时，将线段 绕点 顺时针方向旋转 得到线段 ，连接 ，

与（1）同理可证 ≌ ，

∴ ， ，

∵ ，∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ,

∴四边形 ． 、 ． 四点共圆，

∴ ，

∴ ．

②当 在 延长线上时，将线段 绕点 逆时针方向旋转 得到线段 ，连接 ．

同理可证： ，

∵ ,∴四边形 ． ． 、 四点共圆，∴ ，

∴ ，

综上， 的度数为 或 ．

比值计算如下：

过点 作 ，如图，

则在 中， ， ，∴ ， ，

在 中， ，

设 ， ，∴ ，

∴ ，

∴ ．


【解析】（1）利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，即可求出∠B的度数及的值。
（2）根据折叠的性质先求出∠FAD、∠EA′G的度数，再利用勾股定理在Rt△A′FD中求出A′F的长，即可得出A′E的长，再利用直角三角形的性质得出A′G的长，然后求出EG的长，从而得到BG的长。
（3）根据题意画出图形，分两种情况讨论：①当 D 在 B C 边上时，将线段 A D 1 绕点 A 顺时针方向旋转 90 ° 得到线段 AE ，连接 BE ，先证明△ABE ≌ △ACD1 ，根据全等三角形的性质及特殊角的三角函数值求出 ∠BD1E=30°，得到四边形 A ． D1 、 B ． E 四点共圆，然后根据圆周角定理即可求出结果；②当 D 在 B C 延长线上时，将线段 A D 绕点 A 逆时针方向旋转 90 ° 得到线段 A F ，连接 C F ．同①的方法类似求出结果即可，根据锐角三角函数的定义得出AD=,再求出ED的长，然后根据AD=x，即可求出结果。

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