Question

【题目】如图，在四边形 中， ，对角线 平分 ．

（1）求证： ．
（2）若 ， ， ，求 的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，

过 点作 ， ，

∵ 是 的角平分线，

∴ ，

又∵ ，

∴ ，

∴ ，

又∵ ，

∴ ．

（2）解：∵ 且 和 为直角三角形，

∴设 ，

则 ， ，

而又∵ ≌ ， ≌ ，

∴ ，

即 ，解得 ，

∴ ，

则 的长为

【解析】（1）抓住已知条件AC平分 ∠B AD， 过C点作CE⊥AB ， CF⊥AD，可证得CE=CF,再根据BC=CD，就可证明△CFD ≌ △CEB，得出∠D=∠EBC，然后根据∠EBC+∠B=180° ，即可证得结论。
（3）根据已知条件易证△BEC 和 △FDC 为等腰直角三角形，设它们的直角边长为x，就可表示出AE、AF的长，再根据全等三角形的性质证得AE=AF，建立关于x的方程，求出x的值，然后根据勾股定理，在Rt△ACF中就可求出AC的长。
【考点精析】通过灵活运用角平分线的性质定理和勾股定理的概念，掌握定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2即可以解答此题．