Question

【题目】在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：

第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开（如图①）；

第二步：再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段（如图②）．

如图②所示建立平面直角坐标系，请解答以下问题：

（Ⅰ）设直线的解析式为，求的值；

（Ⅱ）若的延长线与矩形的边交于点，设矩形的边，；

（i）若，，求点的坐标；

（ii）请直接写出、应该满足的条件．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）；（ii）．

【解析】

（Ⅰ）连接，延长交于点，由折叠的性质可证为等边三角形，由点的坐标可求得的值；

（Ⅱ）（i）在中，由三角形的性质可求得的长，则可求得的长，可求得点坐标；

（ii）由题意可知，在中，由三角函数的定义可用表示出，则可得到、所满足的条件．

（Ⅰ）连接AN，延长MN交BC于点P，如图，

∴EF垂直平分AB，
∴AN=BN，
由折叠知AB=BN，
∴AN=AB=BN，
∴△ABN为等边三角形，
∴∠ABN=60°，
∴∠PBN=30°，
∵∠ABM=∠NBM=30°，
∴∠BNM=∠BAM=90°，
∴∠BPN=60°，∠MBP=∠MBN+∠PBN=60°，
∴∠BMP=60°，
∴∠MBP=∠BMP=∠BPM=60°，
∴△BMP是等边三角形，
∵点M在直线上，

∴；

（Ⅱ）（i）由题意可知，

在中，，

∴，解得，

∴，

∴；

（ii）由题意可知，

在中，，，

∴，

∴，

∴．