Question

【题目】如图，的直径，为圆周上一点，，过点作的切线，过点作的垂线，垂足为，与交于点．

（1）求的度数；

（2）求证：四边形是菱形．

Answer 1

【答案】（1）=30°；（2）证明见解析．

【解析】

（1）易得△AOC是等边三角形，则∠AOC=60°，根据圆周角定理得到∠AEC=30°；
（2）根据切线的性质得到OC⊥，则有OC∥BD，再根据直径所对的圆周角为直角得到∠AEB=90°，则∠EAB=30°，可证得AB∥CE，得到四边形OBEC为平行四边形，再由OB=OC，即可判断四边形OBEC是菱形．

（1）在△AOC中，AC=3，
∵AO=OC=3，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∴∠AEC=30°；

（2）∵OC⊥，BD⊥，
∴OC∥BD，
∴∠ABD=∠AOC=60°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴△AEB为直角三角形，∠EAB=30°．
∴∠EAB=∠AEC，
∴CE∥OB，

又∵CO∥EB，
∴四边形OBEC为平行四边形．
又∵OB=OC=3．
∴四边形OBEC是菱形．