Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F。

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为4，BE=2，求∠F的度数。

Answer 1

【答案】（1）证明见解析;（2）∠F=30°．

【解析】试题分析：连接OD，根据AB=AC得出∠ABC=∠ACB，根据OD=OC得出∠ODC=∠OCD，则∠ABC=∠ODC，从而得出AB∥OD，从而得到切线；连接AD，根据AC为直径得出AD⊥BC，根据DE⊥AB得出△AED和△ADB相似，根据半径得出AB、AC、AE、AD的长度，根据Rt△ADB的三角函数得出∠ABC的度数，从而得出∠F的度数．

试题解析：（1）证明：连接OD．∵AB=AC,∴．∵OD=OC,∴．

∴．∴∥．∴．∵DE⊥AB,∴．

∴．∴．∴DE是⊙O的切线．

解：连接AD．∵AC为⊙O的直径，∴．

又∵DE⊥AB,∴Rt∽Rt．∴．∴．

∵⊙O的半径为4，∴AB=AC=8．∴． ∴．

在Rt中，∵，∴．

又∵AB=AC,∴是等边三角形．∴∴．