Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，AD为△ABC角平分线．
（1）用圆规在AB上作一点P，满足DP⊥AB；
（2）求：CD的长度．

Answer 1

【答案】
（1）解：）、如图，点P即为所求；

（2）解：∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD=∠BAD．

又∵DC⊥AC、DP⊥AB，

∴∠C=∠APD．

在△ACD与APD中，

∵ ，

∴△ACD≌APD（AAS）．

∴AP=AC=4，CD=PD．

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，

∴AB=5．

设DP为x，则DP=x，BD=3﹣x，在Rt△DPB中，∠DPB=90°，

∴DP2+PB2=DB2，即，x2+12=（3﹣x）2，

解得x= ，

∴CD=DP= ．

【解析】（1）过点D作AB的垂线，垂足为P即可；（2）根据角平分线的性质可知∠CAD=∠BAD，利用AAS定理可知△ACD≌APD．在在Rt△ABC中根据勾股定理得出AB的长，设DP为x，则DP=x，BD=3﹣x，在Rt△DPB中，利用勾股定理即可得出结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．