Question

【题目】如图1，在矩形中，BC=3，动点从出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点的运动时间为

（1）若

①如图2，当点B’落在AC上时，显然△PCB’是直角三角形，求此时t的值

②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB’是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由

（2）当P点不与C点重合时，若直线PB’与直线CD相交于点M，且当t＜3时存在某一时刻有结论∠PAM=45°成立，试探究：对于t＞3的任意时刻，结论∠PAM=45°是否总是成立？请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）①；②t=2或t=6或t=2（2）见解析.

【解析】

(1)①先利用勾股定理求出AC长，再根据△APB≌△APB′，继而根据全等三角形的性质推导得出∠B=∠PB′C=90°，B′C= ，再证明，根据相似三角形的性质求出PB′=2-4，由此即可求得答案；

②根据题意分三种情况，分别画出图形，结合图形分别讨论求解即可；

(2)如图，根据∠PAM=45°以及翻折的性质可以证明得到△DAM≌△B′AM，从而可得AD=AB′=AB，证得四边形ABCD是正方形，继而根据题意画出图形，根据翻折的性质以及全等三角形的知识进行推导即可求得答案.

(1)①∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，

∴AC=，

∵△APB≌△APB′，

∴∠AB′P=∠B=90°，AB′=AB=2，BP=B′P，

∴∠B=∠PB′C=90°，B′C=AC-AB′=，

又∵∠PCB′=∠ACB，

∴，

∴，

即，

∴PB′=2-4，

∴PB=2-4，

即t=2-4；

②如图，当∠PCB′=90 °时，此时点B′落在BC上，

在Rt△AB′D中，∠D=90°，∴B′D=，

∴B′C=，

在△PCB′中，由勾股定理得：，

解得t=2；

如图，当∠PCB′=90 °时，此时点B′在CD的延长线上，

在Rt△AB′D中，∠ADB′=90°，∴B′D=，

∴B′C=3，

在△PCB′中，由勾股定理得：，解得t=6；

当∠CPB′=90 °时，易得四边形ABPB′为正方形，

∴BP=AB=2，

解得t=2；

综上，t=2或t=6或t=2；

(2)如图

∵∠PAM=45°，

∴∠2+∠3=45°，∠1+∠4=45°，

又∵翻折，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

又∵∠ADM=∠AB′M=90°，AM=AM，

∴△DAM≌△B′AM，

∴AD=AB′=AB，

∴四边形ABCD是正方形，

如图，

设∠APB=x，

∴∠PAB=90°-x，

∴∠DAP=x，

∵AD=AB′，AM=AM，∠ADM=∠AB′M=90°，

∴Rt△MDA≌Rt△B′AM(HL)，

∴∠B′AM=∠DAM，

∵翻折，

∴∠PAB=∠PAB′=90°-x，

∴∠DAB′=∠PAB′-∠DAP=90°-2x，

∴∠DAM=∠DAB′=45°-x，

∴∠MAP=∠DAM+∠PAD=45°.