Question

【题目】如图1，△ABC和△DBC都是边长为2的等边三角形．

（1）以图1中的某个点为旋转中心，旋转△DBC，就能使△DBC与△ABC重合，则满足题意的点为： （写出符合条件的所有点）；

（2）将△DBC沿BC方向平移得到△D1B1C1，如图2、图3，则四边形ABD1C1是平行四边形吗？证明你的结论；

（3）在（2）的条件下，当BB1= 时，四边形ABD1C1为矩形．

Answer 1

【答案】（1）B点、C点、BC的中点；（2）是平行四边形．理由见解析；（3）2

【解析】

（1）根据等边三角形的性质，得到四边形ABCD是菱形，从而再根据菱形是中心对称图形，得到旋转中心有B点、C点、BC的中点；

（2）根据平移的性质，得到BB1=CC1，根据等边三角形的性质，得到AC=B1D1，∠BB1D1=∠ACC1，从而得到△BB1D1≌△ACC1，则AB=C1D1，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明；

（3）根据等边三角形的性质得出AD=BD=DD1，∠ADB=60°，进而得出∠BAD=90°，再利用矩形的判定得出即可．

解：（1）∵等边△ABC和等边△DBC有公共的底边BC，

∴AB=BC=CD=AD，

∴四边形ABCD是菱形．

∴要旋转△DBC，使△DBC与△ABC重合，有三点分别为：B点、C点、BC的中点，

故答案为：B点、C点、BC的中点；

（2）四边形ABD1C1是平行四边形．理由如下：

根据平移的性质，得到BB1=CC1，

根据等边三角形的性质，得到AC=B1D1，∠BB1D1=∠ACC1，

∴△BB1D1≌△ACC1，

∴AC1=BD1，

又AB=C1D1，

∴四边形ABD1C1是平行四边形；

（3）当移动距离BB1=2时，四边形ABC1D1是矩形．

理由：连接BC1，AD1，

∵△ABD，△BDC都是边长为2的等边三角形，

∴AD=BD=DD1，∠ADB=60°，

∴∠DAD1=∠DD1A=30°，

∴∠BAD=60°+30°=90°，

∵由（2）可得出四边形ABC1D1是平行四边形，

∴平行四边形ABC1D1是矩形．

故答案为：2．