Question

【题目】已知：在和中，，，将如图放置，使得的两条边分别经过点和点.

（1）当将如图1摆放时，______.

（2）当将如图2摆放时，试问：等于多少度？请说明理由.

（3）如图2，是否存在将摆放到某个位置时，使得，分别平分和？如果存在，请画出图形或说明理由.如果不存在，请改变题目中的一个已知条件，使之存在.

Answer 1

【答案】（1）116；（2）316；（3）不存在，理由详见解析.

【解析】

（1）由三角形内角和定理得：∠D=180°-（∠E+∠F）=80°，∠DBC+∠DCB=180°-∠D=100°，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=144°，求出∠ABF+∠ACE=180°-（∠ABC+∠DBC）+180°-（∠ACB+∠DCB），即可得出结果；
（2）由三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB=180°-∠A=144°，∠D=80°，∠BCD+∠CBD=180°-∠D=100°，得出∠ABD+∠ACD=（∠ABC+∠ACB）-（∠BCD+∠CBD）=44°，再由平角的性质即可得出结果；
（3）假设能将△DEF摆放到某个位置时，使得BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB．则∠CBD+∠BCD=∠ABD+∠ACD=100°，那么∠ABC+∠ACB=200°，与三角形内角和定理矛盾，所以不存在．如果存在，根据两内角平分线模型，可知∠D=90°+ ∠A，题中∠D=80°，∠A=36°，只要∠E+∠F=100°改成∠E+∠F=72°即可．

解：（1）由三角形内角和定理得：∠D=180°-（∠E+∠F）=180°-100°=80°，
∴∠DBC+∠DCB=180°-∠D=100°，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A=144°，
∴∠ABF+∠ACE=180°-（∠ABC+∠DBC）+180°-（∠ACB+∠DCB）=360°-100°-144°=116°；
故答案为：116；

（2）∠ABF+∠ACE=316°；理由如下；在△ABC中，∠A=36°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=144°，
在△DEF中，∠E+∠F=100°，
∴∠D=180°-100°=80°，
∴∠BCD+∠CBD=180°-∠D=100°，
∴∠ABD+∠ACD=（∠ABC+∠ACB）-（∠BCD+∠CBD）=144°-100°=44°，
∴∠ABF+∠ACE=180°-∠ABD+180°-∠ACD=360°-（∠ABD+∠ACD）=360°-44°=316°；

（3）不存在．假设能将△DEF摆放到某个位置时，使得BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB．
则∠CBD+∠BCD=∠ABD+∠ACD=100°，
那么∠ABC+∠ACB=200°，与三角形内角和定理矛盾，
∴不存在；
如果存在，根据两内角平分线模型，可知∠D=90°+∠A，题中∠D=80°，∠A=36°，
∴只要∠E+∠F=100°改成∠E+∠F=72°．