Question

【题目】如图①，在等边中，，动点从点出发，沿边以每秒1个单位的速度向终点运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿着方向运动．连结，设点运动的时间秒．

（1）用含的代数式表示线段的长．

（2）当时，求的值．

（3）若的面积为，求与之间的函数关系式．

（4）如图②，当点在、之间时，连结，被分割成、、，当其中的某两个三角形面积相等时，直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）当0≤≤3时，，当3<≤6时，；（2）；（3），；（4）或

【解析】

(1)分类讨论：当0≤≤3时和当3<≤6时，根据题目意思结合图形解答即可；

(2)根据直角三角形的性质列出方程，解方程得到答案；

(3)作QH⊥AB于H，根据直角三角形的性质用t表示出QH，根据三角形的面积公式解答；

(4)分△APQ的面积=△PCQ的面积、△APQ的面积=△PCB的面积、△CPQ的面积=△PCB的面积三种情况进行讨论．

解：(1)由题意知得：点Q的运动路程为2t，

当0≤≤3时，，

当3<≤6时，．

(2)∵△ABC为等边三角形，

∴∠A=60°，

当时，∠QPA=30°，

∴AQ=，即，

解得．

(3)如图①所示，作QH⊥AB于H，

在Rt△QBH中，，

，

如图②所示，作QH⊥AB于H，

在Rt△QAH中，，

．

(4)当点Q为AC的中点时，△APQ的面积=△PCQ的面积，

即12-2t=3，

解得：，

如图①，作CE⊥AB于E，

则，

∴△ABC的面积：，

，

∴△BPC的面积：，

∴△APC的面积：，

，

∴△APQ的面积：，

∴△APC的面积：，

当△APQ的面积=△PCB的面积时，

，

整理得：t2-t+4=0，

△=1-16=-15＜0，此方程无解，

当△CPQ的面积=△PCB的面积时，

，

解得：（舍去），

综上所述：在△APQ、△PCQ、△PBC中，其中某两个三角形相等时，或．