Question

【题目】在平面直角坐标系中，点坐标为，点在轴的负半轴上，点、均在线段上，且，点的横坐标为．在中，若轴，轴，则称为点、的“榕树三角形”．

（1）若点坐标为，且，则点、的“榕树三角形”的面积为 ．

（2）当点、的“榕树三角形”是等腰三角形时，求点的坐标．

（3）在（2）的条件下，作过、、三点的抛物线．

①若点必为抛物线上一点，求点、的“榕树三角形”面积与之间的函数关系式．

②当点、的“榕树三角形”面积2，且抛物线与点、的“榕树三角形”恰有两个交点时，直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点B的坐标为；（3）①；②m=-2或-4≤m≤-3

【解析】

(1)待定系数法求直线AB解析式，根据“榕树三角形”新定义和三角形面积即可求出结论；

(2)依据等腰直角三角形性质即可求得点B的坐标；

(3)①先利用待定系数法求得线段AB的表达式，再根据“榕树三角形”新定义求出点M的坐标，再利用三角形面积即可求得S与m之间的函数关系式；

②抛物线与点、的“榕树三角形”恰有两个交点时，可分两种情况：点P在对称轴右侧或点P在对称轴左侧（包括对称轴上），分别进行讨论即可．

解：(1)设直线AB解析式为：y=kx+b，则

，解得

∴直线AB解析式为：，

当x=-1时，，

∴P(-1,)，

∵PM∥x轴，BM∥y轴，

∴M(-4, )，

∴PM=3,BM=，

∴．

(2)根据题意得，，，

，

，

，

∴点B的坐标为．

(3)①首先，确定自变量取值范围为，

由（2）易得，线段的表达式为，

点的坐标为，

由于抛物线经过、两点，

抛物线的对称轴为直线，

点的坐标为，

，

，

故，

②∵点P、Q的“榕树三角形”面积为2，

∴，

∴PM=2，

∴M(m-2，-m-6)，

∵抛物线与点、的“榕树三角形”恰有两个交点，

∴可分两种情况：点P在对称轴右侧或点P在对称轴左侧（包括对称轴上），

若点P在对称轴右侧时，m>-3，此时两个交点关于直线x=-3对称，

∴，

解得：m=-2或m=-4，

∵m>-3，

∴m=-2，

若点P在对称轴左侧（包括对称轴上），即m≤-3，

此时两个交点分别在PM、QM边上，

∴m-2≥-6，即m≥-4，

∴-4≤m≤-3，

综上所述，m的取值范围为m=-2或-4≤m≤-3．