Question

【题目】已知：如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4．在AD上取一点E，AE=1，点F是AB边上的一个动点，以EF为一边作菱形EFMN，使点N落在CD边上，点M落在矩形ABCD内或其边上．若AF=x，△BFM的面积为S．

（1）当四边形EFMN是正方形时，求x的值；

（2）当四边形EFMN是菱形时，求S与x的函数关系式；

（3）当x= 时，△BFM的面积S最大；当x= 时，△BFM的面积S最小；

（4）在△BFM的面积S由最大变为最小的过程中，请直接写出点M运动的路线长： 。

Answer 1

【答案】（1）x=3;(2)S=;(3);(4)

【解析】

（1）利用AAS证明△DEN≌△AFE即可解决问题；

（2）如图，过点M作MH⊥AB于H，连接NF，证明△DEN≌△HMF，可得MH=DE=3，由此即可解决问题；

（3）①如备用图①中，当点N与点D重合时，x的值最小，△FBM的面积最大，在Rt△AEF中，x=，推出S的最大值=12-3；②如备用图②，当点M在BC上时，x的值最大，△FBM的面积最小；

（4）如备用图③中，在△BFM的面积S由最大变为最小的过程中，点M的运动轨迹是平行AB的线段，点M运动的路线长=BF的长=8-2.

(1)在正方形EFMN中，∠FEN=90°，EF=EN，

∴ ∠DEN+∠AEF=90°，

在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，

∴ ∠AEF+∠AFE=90°，

∴ ∠DEN=∠AFE，

在△DEN与△AFE中，

，

∴△DEN≌△AFE（AAS），

∴AF=DE=4－1=3，

∴x的值为3；

(2)过点M作MH⊥AB于H，连接NF，

在矩形ABCD中，∵AB∥CD，

∴∠DNF=∠NFB，

∵四边形EFMN是菱形，

∴NE‖MF ，NE=MF，

∴∠ENF=∠MFN，

∴∠DNE=∠MFB ，

在△DEN与△HMF中，

，

∴△DEN≌△HMF（AAS），

∴MH=DE=3，BF=8-x，

；

（3）①如备用图①中，当点N与点D重合时，x的值最小，△FBM的面积最大，

在Rt△AEF中，x=，

∴S的最大值=12-3；

②如备用图②，当点M在BC上时，x的值最大，△FBM的面积最小，

此时易得CN=AF=x，

∵EN=EF，

∴12+x2=32+（8-x）2，

∴x=，

∴S的最小值为，

故答案为：2，；

（4）如备用图③中，在△BFM的面积S由最大变为最小的过程中，点M的运动轨迹是平行AB的线段，点M运动的路线长=BF的长=8-2，

故答案为：.