Question

【题目】如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围；
（3）点P为抛物线上一点，若S△PAB=10，求出此时点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：把A（﹣1，0）、B（3，0）分别代入y=x2+bx+c中，

得： ，解得： ，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴顶点坐标为（1，﹣4）

（2）解：由图可得当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0
（3）解：∵A（﹣1，0）、B（3，0），

∴AB=4．

设P（x，y），则S△PAB= AB|y|=2|y|=10，

∴|y|=5，

∴y=±5．

①当y=5时，x2﹣2x﹣3=5，解得：x1=﹣2，x2=4，

此时P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）；

②当y=﹣5时，x2﹣2x﹣3=﹣5，方程无解；

综上所述，P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）．

【解析】（1）方法1：将A、B两点坐标代入函数解析式建立二元一次方程组求出b、c的值，方法2：因为A（﹣1，0）、B（3，0）所以可设函数解析式为y=a（x-3）（x+1）,由a=1，可求出函数解析式，再利用配方法或代入顶点坐标就可以求出抛物线的顶点坐标；（2）结合图像以及点A、B的坐标即可得出结论；（3）设点P（x，y），根据三角形的面积公式以及S△PAB=10，即可求出y的值，将y=±5分别代入函数解析式就可以求出点P的坐标。