Question

【题目】如图所示，在平行四边形ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE=CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．

（1）求证：△AEM≌△CFN；

（2）求证：BD与MN互相平分．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】试题分析：（1）先根据平行四边形的性质可得出AD∥BC，∠DAB=∠BCD，再根据平行线的性质及补角的性质得出∠E=∠F，∠EAM=∠FCN，从而利用ASA可作出证明；

（2）根据平行四边形的性质及(1)的结论可得BM 平行且等于DN，则由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BMDN是平行四边形，再由平行四边形的性质即可证明结论．

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠DAB＝∠BCD，所以∠EAM＝∠FCN．

∵AD∥BC，所以∠E＝∠F．

又∵AE＝CF，

∴△AEM≌△CFN．

（2）由（1）得△AEM≌△CFN，

∴AM＝CN．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD.

∴BM∥DN，AB-AM＝CD-CN，即BM＝DN．

∴四边形BMDN是平行四边形．

∴BD与MN互相平分．