【题目】如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与，交于点，，连结，交于点，连结，．若，，则下列结论：①；②垂直平分线段；③；④四边形是菱形．其中正确结论的个数是（ ）

A.1个B.2个C.3个D.4个

参考答案：

【答案】C

【解析】

通过证△AEO≌CFO可判断①；利用矩形的性质证△OCB是正三角形，可得②；因OB≠MB，得到③错误；通过证△EOB≌△FCB得到EB=FB，从而证④．

∵四边形ABCD是矩形

∴AB∥DC,AO=OC

∴∠AEO=∠CFO,∠EAO=∠FCO

∴△AEO≌CFO(AAS)

∴AE=FC，①正确

∵四边形ABCD是矩形

∴OC=OB

∵∠BOC=60°

∴△OCB是正三角形，∴OB=OC

∵FO=FC

∴FB是线段OC的垂直平分线，②正确

∵BM⊥OC，∴△OMB是直角三角形，∴OB＞BM

∴是错误的，即③错误

∵四边形ABCD是矩形

∴EB∥DF，AB=DC

∵AE=FC

∴EB=DF

∴四边形EBFD是平行四边形

∵△AEO≌△CFO，OF=FC，∴AE=EO=OF=FC

∵△OBC是正三角形，∴∠BOC=60°=∠BCO，BC=BO

∴∠FCO=30°，∴∠FOC=30°

∴∠FOB=30°+60°=90°

∴∠EOB=90°=∠FCB

∴△EOB≌△FCB(SAS)

∴EB=FB

∴平行四边形EBFD是菱形，④正确

故选：C

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