Question

【题目】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．

（1）求证：四边形OCED是菱形；

（2）若AB=3，AD=4，求四边形OCED的周长和面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）菱形OCED的周长为，菱形OCED的面积为6．

【解析】

（1）首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论；

（2）先求证四边形AOED是平行四边形，从而得到OE=AD=4，然后利用菱形面积公式求其面积，利用勾股定理和矩形性质求得OD的长，从而得出该菱形的边长，则菱形周长可求．

（1）∵DE∥AC，CE∥BD

∴四边形OCED是平行四边形

∴OC=DE，OD=CE

又∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O

∴OC=OD

∴平行四边形OCED是菱形

（2）如图，连接OE，交CD于点F

由（1）知，四边形OCED是菱形

∴OE⊥CD

又∵矩形ABCD中，AD⊥CD，CD=AB=3

∴AD∥OE

又∵DE∥AC，

∴四边形AOED是平行四边形

∴OE=AD=4

∴菱形OCED的面积：

在Rt△ABD中，AB=3，AD=4

∴BD=5

∴

∴菱形OCED的周长为