Question

【题目】如图，抛物线的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3）,点D在x轴正半轴上，线段OD=OC.

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上是否存在点M，使得△CDM是以CD为直角边的直角三角形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，连接QE.若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点的移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）(2 , 3 )或 )或；（3）存在， .

【解析】试题分析：

（1）根据已知条件设抛物线解析式为，代入点C的坐标就可以求出解析式了；

（2）①当点C是直角顶点时，由已知求出直线DM的解析式，再把所求解析式和（1）中所求二次函数解析式组合成方程组，解方程组即可求得点M的坐标；②当点D是直角顶点时，同①的方法可求得对应的M的坐标；

（3）如图3，分别作点C关于直线QE和直线OD的对称点C′和C′′，连接C′C′′交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度；如图4，连接C′E，作C′N⊥y轴于点N，结合已知条件解出C′C′′的长度即可.

试题解析：

（1）设抛物线的解析式为，

将C（0，1）代入得： ，

解得: ,

∴抛物线的解析式为： 即；

(2)①如图1，当点C为直角顶点时，

∵点C的坐标为（0，1），

∴OD=OC=1，

∴点D的坐标为（1，0），

设直线CD为，则： ，解答，

∴直线CD的解析式为： ，

∵此时CM⊥CD，

∴CM的解析式为： ，

由： ，解得： ， ，

∵点（0，1）与点C重合，

∴点M的坐标为（2，3），此时点M与点Q重合；

②如图②，当D为直角顶点时，由①可得直线DM的解析式为，

由： ,解得： ， ，

∴点Ｍ的坐标为为或；

综上所述，符合题意的Ｍ有三点，分别是(2 , 3 )， 或.

(3) 存在．如图③所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．

如答图④所示，连接C′E，

由（2）可知，QC⊥CD， 由题意可得：QC=QE，

∵∠DCE=45°，

∴∠QCE=45°=∠QEC，

∴△QCE是等腰直角三角形，

∵C，C′关于直线QE对称，

∴△QC′E为等腰直角三角形，

∴△CEC′为等腰直角三角形，

∵在抛物线中，由解得，

∴点E的坐标为（4，1），

∴CE=4=C′E，

∴点C′的坐标为（4，5）；

∵C，C″关于x轴对称，

∴点C″的坐标为（0，﹣1）．

∴OC″=1，

过点C′作C′N⊥y轴于点N，则NC′=CE=4，NC″=4+1+1=6，

在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″=．

综上所述，在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为．