Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点F，交AB的延长线于点E．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）当BD=3，DF= 时，求直径AB．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结OD．

∵EF⊥AC，

∴∠DFA=90°，

∵AB=AC，

∴∠1=∠C，

∵OB=OD，

∴∠1=∠2，

∴∠2=∠C，

∴OD∥AC，

∴∠EDO=∠DFA=90°，即OD⊥EF．

∴EF是⊙O的切线

（2）解：连结AD，

∵AB是直径

∴AD⊥BC，

又AB=AC，

∴CD=BD=3，

在Rt△CFD中，DF= ，

∴CF= = ，

在Rt△CFD中，DF⊥AC，

∴△CFD∽△DFA，

∴ = ，即AF= = ，

∴AC=CF+AF= + =5，

∴AB=AC=5．

【解析】（1）连结OD．根据垂直的定义得到∠DFA=90°，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠C，∠1=∠2，等量代换得到∠2=∠C，根据平行线的性质得到∠EDO=∠DFA=90°，即OD⊥EF．于是得到结论；（2）连结AD，根据勾股定理得到CF= = ，根据相似三角形的性质得到AF= = ，于是得到结论．
【考点精析】认真审题，首先需要了解等腰三角形的性质(等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）)．