Question

【题目】如图，直线y=x+n与x轴交于点A，与y轴交于点B（点A与点B不重合），抛物线y=﹣ x2﹣2x+c经过点A、B，抛物线的顶点为C．

（1）∠BAO=°；
（2）求tan∠CAB的值；
（3）在抛物线上是否存在点P，能够使∠PCA=∠BAC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）45
（2）

解：由（1）得：B（0，n），A（﹣n，0），

∵抛物线y=﹣ x2﹣2x+c经过点A、B

∴ ，解得 或 （舍去）

∴A（﹣6，0），B（0，6），直线AB的解析式为：y=x+6，

抛物线为：y=﹣ ﹣2x+6=﹣ （x+2）2+8，

∴抛物线的顶点为C（﹣2，8），

设抛物线的对称轴为直线l，连结BC，

如图1，过点B作BD⊥l，则BD=CD=2，BD∥x轴，

∴∠CBD=45°，

又BD∥x轴，

∴∠DBA=∠BAO=45°，

∴∠CBA=∠CBD+∠DBA=90°，

在Rt△CDB中，BC= =2 ，

在Rt△AOB中，AB= =6 ，

∴在Rt△ABC中，tan∠CAB= =

（3）

解：①当点P在CA左侧时，如图2，

延长BD交抛物线于点E，当∠PCA=∠BAC时，CP∥AB，

此时，点P与点E重合，点P的坐标是（﹣4，6）；

②当点P在CA右侧时，如图3，过点A作AC的垂线交CP于点F，

过点A作y轴的平行线m，过点C作CM⊥m，过点F作FN⊥m，

由于tan∠BAC= ，所以tan∠ACF=tan∠ACP= ，

∵Rt△CMA∽Rt△ANF，

∴ ， ，AN= CM= ，NF= MA= ，

∴F（﹣ ，﹣ ）；

易求得直线CF的解析式为：y=7x+22，

由 ，消去y，得x2+18x+32=0，

解得x=16或x=﹣2（舍去），

因此点P的坐标（﹣16，﹣90）；

综上所述，P的坐标是（﹣4，6）或（﹣16，﹣90）．

【解析】解：（1）y=x+n，
当x=0时，y=n，则B（0，n），
当y=0时，x=﹣n，则A（﹣n，0），
∴OA=OB=n，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO=45°，
所以答案是：45；