Question

【题目】如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=10cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段AC上由点A向点C 以4cm/s的速度运动．若点P、Q两点分别从点B、A同时出发．

（1）经过2秒后，求证：∠DPQ=∠C．

（2）若△CPQ的周长为18cm，问经过几秒钟后，△CPQ是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）经过1秒或秒或秒时，△CPQ是等腰三角形．

【解析】

（1）经过1秒后，PB=2m，PC=8m，CQ=6m，由已知可得BD=PC，BP=CQ，∠ABC=∠ACB，即据SAS可证得△BPD≌△CQP，然后根据全等三角形的性质及三角形外角的性质即可解答；

（2）可设点Q的运动时间为ts△CPQ是等腰三角形，则可知PB=2tcm，PC=8-3tcm，CQ=xtcm，据（1）同理可得当BD=PC，BP=CQ或BD=CQ，BP=PC时△CPQ为等腰三角形，从而求得t的值．

（1）当P，Q两点分别从B，A两点同时出发运动2秒时，

有BP=2×2=4cm，AQ=4×2=8cm，则CP=BC﹣BP=10﹣4=6cm，

CQ=AC﹣AQ=12﹣8=4cm，∵D是AB的中点，

∴BD=AB=×12=6cm，

∴BP=CQ，BD=CP，

又∵△ABC中，AB=AC，

∴∠B=∠C，

在△BPD和△CQP中，

，

∴△BPD≌△CQP（SAS)

∴∠DPB=∠PQC，

∵∠B+∠PDB=∠DPQ+∠QPC，

∴∠DPQ=∠C；

（2）设当P，Q两点同时出发运动t秒时，

有BP=2t，AQ=4t

∴t的取值范围为0＜t≤3，

则CP=10﹣2t，CQ=12﹣4t，

∵△CPQ的周长为18cm，

∴PQ=18﹣（10﹣2t）﹣（ 12﹣4t）=6t﹣4，

要使△CPQ是等腰三角形，则可分为三种情况讨论：

①当CP=CQ时，则有10﹣2t=12﹣4t，

解得：t=1．

②当PQ=PC时，则有6t﹣4=10﹣2t，

解得：t=；

③当QP=QC时，则有6t﹣4=12﹣4t，

解得：t=，

三种情况均符合t的取值范围．

综上所述，经过1秒或秒或秒时，△CPQ是等腰三角形．