Question

【题目】如图，OA，OD是⊙O半径，过A作⊙O的切线，交∠AOD的平分线于点C，连接CD，延长AO交⊙O于点E，交CD的延长线于点B
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）如果D点是BC的中点，⊙O的半径为3cm，求 的长度（结果保留π）

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AC是⊙O切线，

∴OA⊥AC，

∴∠OAC=90°，

∵CO平分∠AOD，

∴∠AOC=∠COD，

在△AOC和△DOC中，

，

∴△AOC≌△DOC，

∴∠ODC=∠OAC=90°，

∴OD⊥CD，

∴直线CD是⊙O的切线

（2）解：∵OD⊥BC，DC=DB，

∴OC=OB，

∴∠OCD=∠B=∠ACO，

∵∠B+∠ACB=90°，

∴∠B=30°，∠DOE=60°，

∴ 的长= =π．

【解析】（1）欲证明直线CD是⊙O的切线，只要证明∠ODC=90°即可．（2）先证明∠B=∠OCB=∠ACO，推出∠B=30°，∠DOE=60°，利用弧长公式即可解决问题．