Question

【题目】如图，抛物线y=x2﹣mx﹣3（m＞0）交y轴于点C，CA⊥y轴，交抛物线于点A，点B在抛物线上，且在第一象限内，BE⊥y轴，交y轴于点E，交AO的延长线于点D，BE=2AC．

（1）用含m的代数式表示BE的长．
（2）当m= 时，判断点D是否落在抛物线上，并说明理由．
（3）若AG∥y轴，交OB于点F，交BD于点G．
①若△DOE与△BGF的面积相等，求m的值．
②连结AE，交OB于点M，若△AMF与△BGF的面积相等，则m的值是 ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵C（0，﹣3），AC⊥OC，

∴点A纵坐标为﹣3，

y=﹣3时，﹣3=x2﹣mx﹣3，解得x=0或m，

∴点A坐标（m，﹣3），

∴AC=m，

∴BE=2AC=2m．

（2）

解：∵m= ，

∴点A坐标（ ，﹣3），

∴直线OA为y=﹣ x，

∴抛物线解析式为y=x2﹣ x﹣3，

∴点B坐标（2 ，3），

∴点D纵坐标为3，

对于函数y=﹣ x，当y=3时，x=﹣ ，

∴点D坐标（﹣ ，3）．

∵对于函数y=x2﹣ x﹣3，x=﹣ 时，y=3，

∴点D在落在抛物线上．

（3）①

∵∠ACE=∠CEG=∠EGA=90°，
∴四边形ECAG是矩形，
∴EG=AC=BG，
∵FG∥OE，
∴OF=FB，∵EG=BG，
∴EO=2FG，
∵ ?DE?EO= ?GB?GF，
∴BG=2DE，
∵DE∥AC，
∴ = ，
∵点B坐标（2m，2m2﹣3），
∴OC=2OE，
∴3=2（2m2﹣3），
∵m＞0，
∴m= ．
②
【解析】（3）②∵A（m，﹣3），B（2m，2m2﹣3），E（0，2m2﹣3），∴直线AE解析式为y=﹣2mx+2m2﹣3，直线OB解析式为y= x，由 消去y得到﹣2mx+2m2﹣3= x，解得x= ，∴点M横坐标为 ，
∵△AMF的面积=△BFG的面积，
∴ （ +3）（m﹣ ）= m （2m2﹣3），
整理得到：2m4﹣9m2=0，
∵m＞0，
∴m= ．故答案为 ．
（1）根据A、C两点纵坐标相同，求出点A横坐标即可解决问题．（2）求出点D坐标，然后判断即可．（3）①首先根据EO=2FG，证明BG=2DE，列出方程即可解决问题．②求出直线AE、BO的解析式，求出交点M的横坐标，列出方程即可解决问题．本题考查二次函数综合题、三角形面积问题、一次函数等知识，解题的关键是学会构建一次函数，通过方程组解决问题，学会用构建方程的思想思考问题，属于中考压轴题．