Question

【题目】如图，在射线BA，BC，AD，CD围成的菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6 ，O是射线BD上一点，⊙O与BA，BC都相切，与BO的延长线交于点M．过M作EF⊥BD交线段BA（或射线AD）于点E，交线段BC（或射线CD）于点F．以EF为边作矩形EFGH，点G，H分别在围成菱形的另外两条射线上．
（1）求证：BO=2OM．
（2）设EF＞HE，当矩形EFGH的面积为24 时，求⊙O的半径．
（3）当HE或HG与⊙O相切时，求出所有满足条件的BO的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图1所示：设⊙O切AB于点P，连接OP，则∠OPB=90°．

∵四边形ABCD为菱形，

∴∠ABD= ∠ABC=30°．

∴OB=2OP．

∵OP=OM，

∴BO=2OP=2OM．

（2）

解：如图2所示：设GH交BD于点N，连接AC，交BD于点Q．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD．

∴BD=2BQ=2ABcos∠ABQ= AB=18．

设⊙O的半径为r，则OB=2r，MB=3r．

∵EF＞HE，

∴点E，F，G，H均在菱形的边上．

①如图2所示，当点E在AB上时．

在Rt△BEM中，EM=BMtan∠EBM= r．

由对称性得：EF=2EM=2 r，ND=BM=3r．

∴MN=18﹣6r．

∴S矩形EFGH=EFMN=2 r（18﹣6r）=24 ．

解得：r1=1，r2=2．

当r=1时，EF＜HE，

∴r=1时，不合题意舍

当r=2时，EF＞HE，

∴⊙O的半径为2．

∴BM=3r=6．

如图3所示：

当点E在AD边上时．BM=3r，则MD=18﹣3r．

由对称性可知：NB=MD=6．

∴MB=3r=18﹣6=12．

解得：r=4．

综上所述，⊙O的半径为2或4．

（3）

解：解设GH交BD于点N，⊙O的半径为r，则BO=2r．

当点E在边BA上时，显然不存在HE或HG与⊙O相切．

①如图4所示，点E在AD上时．

∵HE与⊙O相切，

∴ME=r，DM= r．

∴3r+ r=18．

解得：r=9﹣3 ．

∴OB=18﹣6 ．

②如图5所示；

由图形的对称性得：ON=OM，BN=DM．

∴OB= BD=9．

③如图6所示．

∵HG与⊙O相切时，MN=2r．

∵BN+MN=BM=3r．

∴BN=r．

∴DM= FM= GN=BN=r．

∴D与O重合．

∴BO=BD=18．

④如图7所示：

∵HE与⊙O相切，

∴EM=r，DM= r．

∴3r﹣ r=18．

∴r=9+3 ．

∴OB=2r=18+6 ．

综上所述，当HE或GH与⊙O相切时，OB的长为18﹣6 或9或18或18+6 ．

【解析】（1）设⊙O切AB于点P，连接OP，由切线的性质可知∠OPB=90°．先由菱形的性质求得∠OBP的度数，然后依据含30°直角三角形的性质证明即可；
　　　　（2）设GH交BD于点N，连接AC，交BD于点Q．先依据特殊锐角三角函数值求得BD的长，设⊙O的半径为r，则OB=2r，MB=3r．当点E在AB上时．在Rt△BEM中，依据特殊锐角三角函数值可得到EM的长（用含r的式子表示），由图形的对称性可得到EF、ND、BM的长（用含r的式子表示，从而得到MN=18﹣6r，接下来依据矩形的面积列方程求解即可；当点E在AD边上时．BM=3r，则MD=18﹣3r，最后由MB=3r=12列方程求解即可；
　　　　（3）先根据题意画出符合题意的图形，
　　　　①如图4所示，点E在AD上时，可求得DM= r，BM=3r，然后依据BM+MD=18，列方程求解即可；
　　　　②如图5所示；依据图形的对称性可知得到OB= BD；
　　　　③如图6所示，可证明D与O重合，从而可求得OB的长；
　　　　④如图7所示：先求得DM= r，OMB=3r，由BM﹣DM=DB列方程求解即可．本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了菱形的性质、切线的性质、特殊锐角三角函数值的应用、矩形的面积公式，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．