Question

【题目】如图，在等边△ABC中，点D在直线BC上，连接AD，作∠ADN=60°，直线DN交射线AB于点E，过点C作CF∥AB交直线DN于点F．

（1）当点D在线段BC上，∠NDB为锐角时，如图①，

①判断∠1与∠2的大小关系，并说明理由；

②过点F作FM∥BC交射线AB于点M，求证：CF+BE=CD；

（2）当点D在线段BC的延长线上，∠NDB为锐角时，如图②；

当点D在线段CB的延长线上，∠NDB为钝角时，如图③；

请分别写出线段CF，BE，CD之间的数量关系，不需要证明；

（3）在（2）的条件下，若∠ADC=30°，S△ABC=4，直接写出BE和CD的长度．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）CF﹣CD=BE；（3）BE=8，CD=4或8．

【解析】

试题分析：（1）①根据等边三角形的性质∠ABC=∠ACB=60°，根据已知条件得到∠1+∠ADC=120°，∠ADC+∠2=120°，根据等式的性质即可得到结论；②通过△MEF≌△CDA即可求得ME=CD，因为通过证四边形BCFM是平行四边形可以得出BM=CF，从而证得CF+BE=CD；

（2）作FM∥BC，得出四边形BCFM是平行四边形，然后通过证得△MEF≌△CDA即可求得，

（3）根据△ABC的面积可求得AB=BC=AC=4，同时代的BD=2AB=8，求得 BE=8，即可得到结论．

解：（1）①∠1=∠2，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°

∵∠ADN=60°，

∴∠1+∠ADC=120°，∠ADC+∠2=120°，

∴∠1=∠2；

②证明：如图①，过点F作FM∥BC交射线AB于点M，

∵CF∥AB，

∴四边形BMFC是平行四边形，

∴BC=MF，CF=BM，

∴∠ABC=∠EMF，∠BDE=∠MFE，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，BC=AC，

∴∠EMF=∠ACB，AC=MF，

∵∠ADN=60°，

∴∠BDE+∠ADC=120°，∠ADC+∠DAC=120°，

∴∠BDE=∠DAC，

∴∠MFE=∠DAC，

在△MEF与△CDA中，

，

∴△MEF≌△CDA（AAS），

∴CD=ME=EB+BM，

∴CD=BE+CF；

（2）如图②，由（1）证得四边形BMFC是平行四边形，

∴BC=MF，CF=BM，

由（1）证得△MEF≌△CDA（AAS），

∴CD=ME=EB﹣BM，

∴CF+CD=BE，

如图③，同理CF﹣CD=BE；

（3）∵△ABC是等边三角形，S△ABC=4，

∴易得AB=BC=AC=4，

如图②，

∵∠ADC=30°，∠ACB=60°，

∴CD=AC=4，

∵∠ADN=60°，

∴∠CDF=30°，

又∵CF∥AB，

∴∠BCF=∠ABC=60°，

∴∠CFD=∠CDF=30°，

∴CD=CF，

由（2）知BE=CF+CD，

∴BE=4+4=8．

如图③，

∵∠ADC=30°，∠ABC=60°，

∴∠BAD=∠ADC=30°，

∴BD=BA=4，

∴CD=BD+BC=4+4=8，

∵∠ADN=60°，∠ADC=30°，

∴∠BDE=90°，

又∵∠DBE=∠ABC=60°，

∴∠DEB=30°，

在Rt△BDE中，∠DEB=30°，BD=4，

∴BE=2BD=8，

综上，BE=8，CD=4或8．