Question

【题目】如图，已知⊙O的直径AB=12cm，AC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点P，连接BC．

（1）求证：∠PCA=∠B；

（2）已知∠P=40°，点Q在优弧ABC上，从点A开始逆时针运动到点C停止（点Q与点C不重合），当△ABQ与△ABC的面积相等时，求动点Q所经过的弧长．

Answer 1

【答案】（1）证明见试题解析；（2）或或．

【解析】

试题分析：（1）连接OC，由PC是⊙O的切线，得到∠1+∠PCA=90°，由AB是⊙O的直径，得到∠2+∠B=90°，从而得到结论；

（2）△ABQ与△ABC的面积相等时，有三种情况，即：①当∠AOQ=∠AOC=50°时；②当∠BOQ=∠AOC=50°时；③当∠BOQ=50°时，即∠AOQ=230°时；分别求得点Q所经过的弧长即可．

试题解析：（1）连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO=90°，∴∠1+∠PCA=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠2+∠B=90°，∵OC=OA，∴∠1=∠2，∴∠PCA=∠B；

（2）解：∵∠P=40°，∴∠AOC=50°，∵AB=12，∴AO=6，

①当∠AOQ=∠AOC=50°时，△ABQ与△ABC的面积相等，∴点Q所经过的弧长==；

②当∠BOQ=∠AOC=50°时，即∠AOQ=130°时，△ABQ与△ABC的面积相等，∴点Q所经过的弧长==；

③当∠BOQ=50°时，即∠AOQ=230°时，△ABQ与△ABC的面积相等，∴点Q所经过的弧长==；

综上所述，当△ABQ与△ABC的面积相等时，动点Q所经过的弧长为或或．