【题目】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形的顶点、，将矩形的一个角沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕与轴交于点.

（1）线段的长度为__________；

（2）求直线所对应的函数解析式；

（3）若点在线段上，在线段上是否存在点，使四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案：

【答案】（1）15；（2）；（3）

【解析】

（1）根据勾股定理即可解决问题；
（2）设AD=x，则OD=OA=AD=12-x，根据轴对称的性质，DE=x，BE=AB=9，又OB=15，可得OE=OB-BE=15-9=6，在Rt△OED中，根据OE2+DE2=OD2，构建方程即可解决问题；
（3）过点E作EP∥BD交BC于点P，过点P作PQ∥DE交BD于点Q，则四边形DEPQ是平行四边形，再过点E作EF⊥OD于点F，想办法求出最小PE的解析式即可解决问题。

解：（1）在Rt△ABC中，∵OA=12，AB=9，

故答案为15．

（2）如图，

设，则

根据轴对称的性质，，

又，

∴，

在中，，

即，则，

∴，

∴

设直线所对应的函数表达式为：

则，

解得

∴直线所对应的函数表达式为：．

故答案为：

（3）过点作交于点，过点作交于点，则四边形是平行四边形，再过点作于点，

由

得，即点的纵坐标为，

又点在直线：上，

∴，解得，

由于，所以可设直线，

∵在直线上

∴，解得

∴直线为，

令，则，解得，

∴

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