Question

【题目】探索：在图1至图2中，已知的面积为a

(1)如图1，延长的边BC到点D，使CD=BC，连接DA;延长边CA到点E，使CA=AE，连接DE;若的面积为，则= (用含a的代数式表示)；

(2)在图1的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到(如图2).若阴影部分的面积为，则= (用a含的代数式表示)；

(3)发现:像上面那样，将各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到(如图2)，此时，我们称向外扩展了一次.可以发现，扩展n次后得到的三角形的面积是面积的 倍(用含n的代数式表示);

(4)应用:某市准备在市民广场一块足够大的空地上栽种牡丹花卉，工程人员进行了如下的图案设计:首先在的空地上种紫色牡丹，然后将向外扩展二次(如图3).在第一次扩展区域内种黄色牡丹，第二次扩展区域内种紫色牡丹，紫色牡丹花的种植成本为100元/平方米，黄色牡丹花的种植成本为95元/平方米.要使得种植费用不超过48700元，工程人员在设计时，三角形的面积至多为多少平方米?

Answer 1

【答案】（1） ；（2）；（3） ；（4）的面积至多为10平方米.

【解析】

(1)连接AD，根据等底等高的三角形的面积相等求出△ADE的面积即可；

(2)根据等底等高的三角形的面积相等求出△ADE、△AEF、△AFD的面积，相加即可；

(3)由(2)得到△ABC向外扩展了一次得到的△DEF的面积S△DEF=7a，△ABC向外扩展了二次得到的△MGH的面积S△MGH=72a，找出规律即可；

(4)由(2)(3)的结论确定出种黄色牡丹，种紫色牡丹的面积，用总费用建立不等式，即可．

(1)如图1，连接AD，

∵BC=CD，

∴S△ABC=S△DAC=a，

∵AE=AC，

∴S△DAE=S△DAC=S△ABC=a，

∴S1=S△CDE=S△DAE+S△DAC=2a，

故答案为：2a；

(2)如图2，

由(1)有，S△CDE=2a，

同(1)的方法得到，

S△EAF=2a，

S△BDF=2a，

∴S2=S△CDE+S△EAF+S△BDF=6a，

故答案为：6a；

(3)由(2)有S2=6a，

∴S△DEF=S2+S△ABC=6a+a=7a，

∴△ABC向外扩展了一次得到的△DEF的面积S△DEF=7a，

∴△ABC向外扩展了二次得到的△MGH，可以看作是△DEF向外扩展了一次得到，

∴S△MGH=7S△DEF=7×7a=72a，

∴△ABC向外扩展了二次得到的△MGH的面积S△MGH=72a，

同理：△ABC向外扩展了n次得到的三角形的面积S=7na，

故答案为：7n；

(4)由(2)有，△ABC第一次扩展区域面积为S2=6a，

同理：△ABC第二次扩展区域可以看成是△DEF向外扩展了一次得到，

∴S3=6S△DEF=6×7a=42a，

∵在△ABC的空地上种紫色牡丹，第二次扩展区域内种紫色牡丹，

∴种紫色牡丹的面积为a+42a=43a，

∵在第一次扩展区域内种黄色牡丹，

∴种黄色牡丹的面积为6a，

∵紫色牡丹花的种植成本为100元/平方米，黄色牡丹花的种植成本为95元/平方米．要使得种植费用不超过48700元，

∴100×43a+95×6a≤48700，

∴a≤10，

∴工程人员在设计时，三角形ABC的面积至多为10平方米.