Question

【题目】我们规定：函数y=（a、b、k是常数，k≠ab）叫奇特函数．当a=b=0时，奇特函数y=就是反比例函数y=（k是常数，k≠0）．

（1）如果某一矩形两边长分别是2和3，当它们分别增加x和y后，得到新矩形的面积为8．求y与x之间的函数表达式，并判断它是否为奇特函数；

（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A、C坐标分别为（6，0）、（0，3），点D是OA中点，连接OB、CD交于E，若奇特函数y=的图象经过点B、E，求该奇特函数的表达式；

（3）把反比例函数y=的图象向右平移4个单位，再向上平移 个单位就可得到（2）中得到的奇特函数的图象；

（4）在（2）的条件下，过线段BE中点M的一条直线l与这个奇特函数图象交于P，Q两点（P在Q右侧），如果以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=是奇特函数．（2）奇特函数的表达式为y=．（3）2，见解析（4）P在原坐标系中的坐标为（4+2+4，﹣2+2）即（2+8，）．

【解析】

试题分析：（1）只需运用矩形的面积公式就可求出函数关系式，从而解决问题；

（2）可先求出直线OB和直线CD的解析式，求出它们的交点E的坐标，然后只需运用待定系数法就可解决问题；

（3）只需将（2）中所求的奇特函数y=转化为y=2+，就可解决问题；

（4）将坐标原点平移到点M的位置，构建新的坐标系，在新的坐标系中，分点P在点B的左边和右边两种情况讨论，只需先求出点P在新坐标系下的坐标，就可求出点P在原坐标系下的坐标．

解：（1）由题意得：（2+x）（3+y）=8．

即3+y=，

∴y=﹣3=．

根据定义，y=是奇特函数．

（2）如图1，

由题意得：B（6，3）、D（3，0），

设直线OB的解析式为y=mx，

则有6m=3，

解得：m=，

∴直线OB的解析式为y=x．

设直线CD的解析式为y=kx+b，

，

解得：，

∴直线CD的解析式为y=﹣x+3．

解方程组，得

，

∴点E（2，1）．

将点B（6，3）和E（2，1）代入y=得

，

解得：，

∴奇特函数的表达式为y=．

（3）∵y===2+．

∴把反比例函数y=的图象向右平移4个单位，再向上平移2个单位，

就可得到奇特函数y=的图象；

故答案为：2．

（4）满足条件的点P的坐标为（2，+4）或（2+8，）．

提示：①若点P在点B的左边，如图2①，

以点M为原点，构建如图2①所示的新坐标系，

在该坐标系下该奇特函数的解析式为y′=，点B的新坐标为（2，1）．

∵直线PQ与双曲线y′=都是以点M为对称中心的中心对称图形，

∴MP=MQ．

∵MB=ME，

∴四边形BPEQ是平行四边形，

∴SBPEQ=4S△BMP=16，

∴S△BMP=4．

过点P作PG⊥x′轴于G，过点B作BH⊥x′轴于H，

根据反比例函数比例系数的几何意义可得：

S△PGM=S△BHM=×2=1，

∴S△BMP=S△PGM+S梯形BHGP﹣S△BHM=S梯形BHGP=4，

设点P在新坐标系中的坐标为（x′，），

则有S梯形BHGP=（1+）（2﹣x′）=4，

解得x1′=﹣4﹣2（舍去），x2′=﹣4+2，

当x=﹣4+2时，==+2，

即点P在新坐标系中的坐标为（﹣4+2，+2），

∴点P在原坐标系中的坐标为（﹣4+2+4，+2+2）即（2，）；

②若点P在点B的右边，如图2②，

同理可得：

点P在原坐标系中的坐标为（4+2+4，﹣2+2）即（2+8，）．