Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，AM、BN分别与⊙O相切于点A、B，CD交AM、BN于点D、C，DO平分∠ADC.

（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）设AD＝4，AB＝x (x > 0)，BC＝y (y > 0). 求y关于x的函数解析式.

Answer 1

【答案】
（1）证明：过O做OE⊥CD于点E，

则∠OED＝90°
∵⊙O与AM相切于点A
∴∠OAD＝90°
∵OD平分∠ADE
∴∠ADO＝∠EDO
∵OD＝OD
∴△OAD≌△OED
∴OE＝OA
∵OA是⊙O的半径
∴OE是⊙O的半径
∴CD是⊙O的切线
（2）解：过点D做DF⊥BC于点F，则DF＝AB＝x

∵AD＝4，BC＝y
∴CF＝BC－AD＝y－4
由切线长定理可得：
∴DE=DA,CE=CB
∴CD＝CE＋ED
＝BC＋AD
＝4＋y
在Rt△DFC中，
∵CD2＝DF2＋FC2
∴(y＋4)＝x 2＋(y－4)2
整理得：y＝ x2
则y关于x的函数关系式为：y＝ x2

解法二：连接OC，

∵CD、CB都是⊙O的切线
∴CE＝CB＝y
OC平分∠BCD
即：∠OCD＝ ∠BCD
同理：DE＝AD＝4
∠CDO＝ ∠CDA
∵AM、BN分别与⊙O相切
且AB为⊙O的直径
∴AM//BN
∴∠BCD＋∠CDA＝180°
∴∠OCD＋∠CDO＝90°
∵∠CDO＋∠OCD＋∠COD＝180°
∴∠COD＝90°
∵在Rt△DOC中，
OD2＝OA2＋AD2
即OD2＝( )2＋42
同理可得：
OC2＝( )2＋y2
∵CD＝CE＋ED＝y＋4
∴在Rt△OCD中
CD2＝OC2＋OD2
即(y＋4)2＝( )2＋42＋( )2＋y2
整理得：y＝ x2
则y关于x的函数关系式为：y＝ x2
【解析】（1）过O做OE⊥CD于点E，则∠OED＝90° ，根据切线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径得出∠OAD＝90° ，根据角平分线的定义得出∠ADO＝∠EDO ，从而根据AAS判断出△OAD≌△OED，根据全等三角形的对应边相等得出OE＝OA ，根据切线的判定定理得出CD是⊙O的切线 ；
（2）解法一 ：过点D做DF⊥BC于点F，则DF＝AB＝x ，根据矩形的性质及线段的和差得出CF＝BC－AD＝y－4 ，由切线长定理可得：DE=DA,CE=CB ,根据线段的和差得出CD＝CE＋ED＝BC＋AD＝4＋y ，在Rt△DFC中，由勾股定理得出(y＋4)＝x 2＋(y－4)2 ，从而得出y与x之间的函数关系式 ；解法二：连接OC，根据切线长定理得出CE＝CB＝y ，OC平分∠BCD ，即：∠OCD＝ ∠BCD，同理：DE＝AD＝4 ，∠CDO＝ ∠CDA ，又AM、BN分别与⊙O相切且AB为⊙O的直径 ，故AM//BN，根据二直线平行同旁内角互补得出∠BCD＋∠CDA＝180° ，进而得出∠OCD＋∠CDO＝90° ，根据平角的定义得出∠CDO＋∠OCD＋∠COD＝180° ，从而得出COD＝90°，在Rt△DOA中，根据勾股定理得出OD2＝( )2＋42 , 同理可得：OC2＝( x 2 )2＋y2 ,由于CD＝CE＋ED＝y＋4 ，在Rt△OCD中 ，CD2＝OC2＋OD2 ，即(y＋4)2＝( x 2 )2＋42＋( x 2 )2＋y2 ，从而得出y与x之间的函数关系。
【考点精析】本题主要考查了切线长定理和垂径定理的推论的相关知识点，需要掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角；推论1：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧B、弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧C、平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；推论2 ：圆的两条平行弦所夹的弧相等才能正确解答此题．