Question

【题目】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，点A关于对角线BD的对称点F刚好落在腰DC上，连接AF交BD于点E，AF的延长线与BC的延长线交于点G，M，N分别是BG，DF的中点．
（1）求证：四边形EMCN是矩形；
（2）若AD=2，S梯形ABCD= ，求矩形EMCN的长和宽．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵点A、F关于BD对称，

∴AD=DF，DE⊥AF，

又∵AD⊥DC，

∴△ADF、△DEF是等腰直角三角形，

∴∠DAF=∠EDF=45°，

∵AD∥BC，

∴∠G=∠GAD=45°，

∴△BGE是等腰直角三角形，

∵M，N分别是BG，DF的中点，

∴EM⊥BC，EN⊥CD，

又∵AD∥BC，AD⊥DC，

∴BC⊥CD，

∴四边形EMCN是矩形；

（2）解：由（1）可知，∠EDF=45°，BC⊥CD，

∴△BCD是等腰直角三角形，

∴BC=CD，

∴S梯形ABCD= （AD+BC）CD= （2+CD）CD= ，

即CD2+2CD﹣15=0，

解得CD=3，CD=﹣5（舍去），

∵△ADE、△DEF是等腰直角三角形，

∴DF=AD=2，

∵N是DF的中点，

∴EN=DN= DF= ×2=1，

∴CN=CD﹣DN=3﹣1=2，

∴矩形EMCN的长和宽分别为2，1．

【解析】（1）根据轴对称的性质可得AD=DF，DE⊥AF，然后判断出△ADF、△DEF是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出∠DAF=∠EDF=45°，根据两直线平行，内错角相等求出∠BGE=45°，然后判断出△BGE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得EM⊥BC，EN⊥CD，再根据矩形的判定证明即可；（2）判断出△BCD是等腰直角三角形，然后根据梯形的面积求出CD的长，再根据等腰直角三角形的性质求出DN，即可得解．
【考点精析】关于本题考查的直角梯形，需要了解一腰垂直于底的梯形是直角梯形才能得出正确答案．