Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．

（1）求证：AC平分∠DAB；

（2）求证：△PCF是等腰三角形；

（3）若∠BEC=30°，求证：以BC，BE，AC边的三角形为直角三角形．

Answer 1

【答案】详见解析.

【解析】试题分析：（1）连接OC，可证得OC∥AD，结合条件可证得∠DAC=∠CAO，可证得结论；
（2）由条件可得∠BCP=∠CAB，∠ACF=∠BCF，结合外角性质可得∠CFP=∠PCF，可证得结论；
（3）连接AE，可知根据条件可得到BE与AB的关系，以及和的关系，再结合勾股定理的逆定理可得到结论．

试题解析：证明：(1)如图1，连接OC，

∵DP是O的切线，

∴OC⊥DP，

又∵AD⊥DP，

∴OC∥AD，

∴∠DAC=∠ACO，

∵OA=OC，

∴∠ACO=∠CAO，

∴∠DAC=∠CAO，

即AC平分∠DAB；

(2)∵PD是O的切线，

∴∠BCP=∠CAB，

又∵CE平分∠ACB，

∴∠ACF=∠BCF，

∴∠CAF+∠ACF=∠BCF+∠PCB，

即∠CFP=∠PCF，

∴PC=PF，即△PCB为等腰三角形；

(2)如图2，连接AE，

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE=∠BCE，

∴AE=BE，

又∵AB为直径，

∴

∵

∴

∴在Rt△ABC中,

∴

∴以BC，BE，AC边的三角形为直角三角形．