Question

【题目】如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形ABCD的外角∠DCG的平分线CF于点F．

（1）如图2，取AB的中点H，连接HE，求证：AE＝EF．

（2）如图3，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变结论“AE＝EF”仍然成立吗？如果正确，写出证明过程：如果不正确，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析.

【解析】

（1）取AB的中点H，连接EH，根据已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECF，从而得到AE＝EF；

（2）成立，延长BA到M，使AM＝CE，根据已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECF，从而得到AE＝EF；

（1）证明：取AB的中点H，连接EH；如图1所示

∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EF；

∴∠1+∠AEB＝90°，∠2+∠AEB＝90°

∴∠1＝∠2，

∵BH＝BE，∠BHE＝45°，且∠FCG＝45°，

∴∠AHE＝∠ECF＝135°，AH＝CE，

在△AHE和△ECF中，

，

∴△AHE≌△ECF（ASA），

∴AE＝EF；

（2）解：AE＝EF成立，

理由如下：如图2，延长BA到M，使AM＝CE，

∵∠AEF＝90°，

∴∠FEG+∠AEB＝90°．

∵∠BAE+∠AEB＝90°，

∴∠BAE＝∠FEG，

∴∠MAE＝∠CEF．

∵AB＝BC，

∴AB+AM＝BC+CE，

即BM＝BE．

∴∠M＝45°，

∴∠M＝∠FCE．

在△AME与△ECF中，

，

∴△AME≌△ECF（ASA），

∴AE＝EF．