Question

【题目】如图，菱形ABCD中，点P是CD的中点，∠BCD=60°，射线AP交BC的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点，作BM⊥AE于点M，作KN⊥AE于点N，连结MO、NO，以下四个结论：①△OMN是等腰三角形；②tan∠OMN= ；③BP=4PK；④PMPA=3PD2 ， 其中正确的是（ ）

A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④

Answer 1

【答案】B
【解析】解：作PI∥CE交DE于I，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∴∠DAP=∠CEP，∠ADP=∠ECP，
在△ADP和△ECP中，
，
∴△ADP≌△ECP，
∴AD=CE，
则 ，又点P是CD的中点，
∴ = ，
∵AD=CE，
∴ = ，
∴BP=3PK，
故③错误；
作OG⊥AE于G，
∵BM丄AE于M，KN丄AE于N，
∴BM∥OG∥KN，
∵点O是线段BK的中点，
∴MG=NG，又OG⊥MN，
∴OM=ON，
即△MON是等腰三角形，故①正确；
由题意得，△BPC，△AMB，△ABP为直角三角形，
设BC=2，则CP=1，由勾股定理得，BP= ，
则AP= ，
根据三角形面积公式，BM= ，
∵点O是线段BK的中点，
∴PB=3PO，
∴OG= BM= ，
MG= MP= ，
tan∠OMN= = ，故②正确；
∵∠ABP=90°，BM⊥AP，
∴PB2=PMPA，
∵∠BCD=60°，
∴∠ABC=120°，
∴∠PBC=30°，
∴∠BPC=90°，
∴PB= PC，
∵PD=PC，
∴PB2=3PD，
∴PMPA=3PD2 ， 故④正确．
故选B．

根据菱形的性质得到AD∥BC，根据平行线的性质得到对应角相等，根据全等三角形的判定定理△ADP≌△ECP，由相似三角形的性质得到AD=CE，作PI∥CE交DE于I，根据点P是CD的中点证明CE=2PI，BE=4PI，根据相似三角形的性质得到 = ，得到BP=3PK，故③错误；作OG⊥AE于G，根据平行线等分线段定理得到MG=NG，又OG⊥MN，证明△MON是等腰三角形，故①正确；根据直角三角形的性质和锐角三角函数求出∠OMN= ，故②正确；然后根据射影定理和三角函数即可得到PMPA=3PD2 ， 故④正确．