Question

【题目】已知∠ACD=90°，AC=DC，MN是过点A的直线，过点D作DB⊥MN于点B，连接CB．

（1）问题发现
如图（1），过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，则易发现BD和EA之间的数量关系为 ， BD、AB、CB之间的数量关系为 ．
（2）拓展探究
当MN绕点A旋转到如图（2）位置时，BD、AB、CB之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．

（3）解决问题
当MN绕点A旋转到如图（3）位置时（点C、D在直线MN两侧），若此时∠BCD=30°，BD=2时，CB= ．

Answer 1

【答案】
（1）BD=AE,BD+AB= CB
（2）解：证明：如图2，过点C作⊥CB交MN于点E，

∵∠ACD=90°，

∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，

∴∠ACE=∠BCD，

∵DB⊥MN，

∴∠CAE=90°﹣∠AFB，∠D=90°﹣∠CFD，

∵∠AFB=∠CFD，

∴∠CAE=∠D，

∵AC=DC，

∴△ACE≌△DCB，

∴AE=DB，CE=CB，

∵∠ECB=90°，

∴△ECB是等腰直角三角形，

∴BE= CB，

∴BE=AE﹣AB=DB﹣AB，

∴BD﹣AB= CB；

（3） ﹣
【解析】解：（1）如图1，过点C作⊥CB交MN于点E，

∵∠ACD=90°，

∴∠ACE=90°﹣∠ACB，∠BCD=90°﹣∠ACB，

∴∠ACE=∠BCD，

∵DB⊥MN，

∴在四边形ACDB中，∠BAC+∠ACD+∠ABD+∠D=360°，

∴∠BAC+∠D=180°，

∵∠CE+∠BAC=180°，

∠CAE=∠D，

∵AC=DC，

∴△ACE≌△DCB，

∴AE=DB，CE=CB，

∵∠ECB=90°，

∴△ECB是等腰直角三角形，

∴BE= CB，

∴BE=AE+AB=DB+AB，

∴BD+AB= CB；

所以答案是：BD=AE，BD+AB= CB；（3）如图3，过点C作⊥CB交MN于点E，

（3）∵∠ACD=90°，

∴∠ACE=90°﹣∠DCE，

∠BCD=90°﹣∠DCE，

∴∠ACE=∠BCD，

∵DB⊥MN，

∴∠CAE=90°﹣∠AFC，∠D=90°﹣∠CFD，

∵∠AFB=∠BFD，

∴∠CAE=∠D，

∵AC=DC，

∴△ACE≌△DCB，

∴AE=DB，CE=CB，

∵∠ECB=90°，

∴△ECB是等腰直角三角形，

∴BE= CB，

∴BE=AB﹣AE=AB﹣DB，

∴AB﹣DB= CB；

∵△BCE为等腰直角三角形，

∴∠BEC=∠CBE=45°，

∵∠ABD=90°，

∴∠DBH=45°

过点D作DH⊥BC，

∴△DHB是等腰直角三角形，

∴BD= BH=2，

∴BH=DH= ，

在Rt△CDH中，∠BCD=30°，DH= ，

∴CH= DH= × = ，

∴BC=CH﹣BH= ﹣ ；

所以答案是： ﹣ ．

【考点精析】根据题目的已知条件，利用勾股定理的概念和解直角三角形的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)．