Question

【题目】如图，在直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴正半轴上，点B的坐标是（5，2），点P是CB边上一动点（不与点C、点B重合），连结OP、AP，过点O作射线OE交AP的延长线于点E，交CB边于点M，且∠AOP=∠COM，令CP=x，MP=y．

（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）当x为何值时，OP⊥AP？

（3）在点P的运动过程中，是否存在x，使△OCM的面积与△ABP的面积之和等于△EMP的面积？若存在，请求x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）()；（2）当时，；（3）存在，

【解析】

（1）证明，得到，得到x、y的函数关系式，

（2）若OP⊥AP，则可证得，得到关于x的方程，解方程，把不合题意值舍去即可；

（3）过E作于点D，交MP于点F，证明，得到关于y的方程，求出y，在根据（1）求出x，把不合题意值舍去即可．

（1）如图，∵BC∥OA，

∴．

∵，

∴．

∵，

∴．

∴，即．

∴，x的取值范围是．

（2）如图，由题意知，

，，，，

∵，∴．

∴．∴．

∴，即，解得，（不合题意，舍去）．

∴当时，．

（3）假设存在x符合题意．

如图，过E作于点D，交MP于点F，则．

∵与面积之和等于的面积，

∴．

∴，．

∵PM∥OA，

∴．

∴．

即，解得．

∴由（2）得，．

解得，，（不合题意舍去）．

∴在点P的运动过程中，存在，使与面积之和等于的面积．