Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC， 交AB的延长线于E，垂足为F．

(1)求证：直线DE是⊙O的切线；

(2)当AB＝5，AC＝8时，求cosE的值．

Answer 1

【答案】（1）证OD⊥DE即可．（2）cosE=

【解析】

试题如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC， 交AB的延长线于E，垂足为F．

(1)连结OD．易知OA=OD=r，且AB＝BC，∴∠OAD=∠ODA=∠C

所以OD∥CB．所以∠ODE=∠BFE=90°．所以OD⊥DE，垂足为D．

所以直线DE是⊙O的切线．

(2)当AB＝5，AC＝8时，求cosE的值．

解：连结BD．由（1）知OD⊥DE，又因为∠ADB=90°（直径所对圆周角）

所以∠ADO+∠ODB=∠ODB+∠BDE．因为OD∥CB，则∠ODB=∠DBO=∠DBF

所以Rt△ADB∽Rt△DFB．则，已知AB=BC，BD⊥AC．所以AD=AC=4.

所以在Rt△ADB中，BD=3.故3×3=5×BF，解得BF=．易知Rt△EDO∽Rt△EFB

则，解得BE=

所以在Rt△EFB中，cosE＝